1、先求x+y的最值，设x+y=k，代入已知方程，得到蔡龇呶挞关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。x^2+(k-x像粜杵泳)^2=43x^2+k^2-2kx+x^2=432x^2-2kx+k^2-43=0判别式△=4k^2-8(k^2-43)≥0-4k^2≥-8*43k^2≤86，即：-√86≤k≤√86.所以x+y的最大值为√86，最大值为-√86。
2、利用三角函数换元，求得x+y的最大值。由x^2+y^2=43，设x=√43cost，y=√43sint，则：x+y=√43cost+√43sint=√86(sint+π/4).当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√86；当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√86；
3、∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)即：(x+y)^2≤86，则：-√86≤x+y≤√86.
4、替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。xy=x√(43-x^2)=±√[x^2(43-x^2)]=±√[(43^2/4)-(x^4-43x^2+43^2/4)]=±√[(43^2/4)-(x^2-43/2)^2].则xy的最大值为43/2,最小值为-43/2.
5、设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。x^2+y^2=43x^2+p^2/x^2=43x^4-43x^2+p^2=0判别式△=43^2-4p^2≥0,即：p^2≤43^2/4-43/2≤p≤43/2
6、三角换元法，将xy表莲镘拎扇示成三角函数，进而得xy的取值范围。由x^2+y^2=43，设x=√43cost，y=√43sint，则：xy=√43cost*√桃轾庾殇43sint=43*(1/2)sin2t=(43/2)sin2t当sin2t=1时，x+y有最大值=43/2；当sin2t=-1时，x+y有最小值=-43/2.
7、∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=43/2即：-43/2≤xy≤43/2.
